"Не знам како изгледам другима, али себи изгледам као дечак на обали мора"
"Ако сам видео даље од других то је зато што сам стајао на плећима дивова"

Почетак
Садржај
Ћирилична места
Природне науке
Образовање

(1)

У бити вектор може да се дефинише на три различита начина:
а) Геометријски;
б) Аналитички и
ц) Аксиоматски.

Посматрајмо једну праву и на тој правој две тачке А и B. Део праве између ове две тачке зове се одсечак(дуж) . Ако усвојимо да је А почетна тачка а B крајња тачка на овакав начин смо означили оријентацију одсечка од А ка B.Овако оријентисани одсечак праве означавамо на један од начина

На основу изложеног и на основу слике можемо рећи да је вектор одређен:
1) Правцем (носач вектора)
2) Дужином (интезитетом-модулом растојањем између тачке А и B) и
3) Смером. Смер представља оријентацију одсечка.
За две оријентисане дужи кажемо да су једнаке ако се транслацијом рецимо дуж може довести до поклапања са дужи тако да се тачка А поклопи са тачком C а тачkа B са тачком D.
Овако уведена релација између оријентисаних дужи чини релацију еквиваленције.
1) Свака дуж поклапа се сама са собом што преставља особину рефлексивности
2) Ако се дуж може транслаторно померити тако да се поклопи са дужи , односно онда се и дуж може транслаторно померити тако да се поклопи са дужи , што преставља особину симетричности
3) Ако се транслацијом може превести у а у тада се и транслацијом преводи у , што одговара особини транзитивности.


ОПЕРАЦИЈЕ СА ВЕКТОРИМА
1) Збир вектора



2)Разлика вектора


3) Множење вектора скаларом.
Нека је . Тада је вектор чији је интезитет једнак , правац једнак правцу вектора док је смер једнак смеру вектора ако је односно супротан смер вектора ако је слика 4

(2)

1. Дефиниција. За два вектора кажемо да су колинеарна ако су истог правца. Колинеарне векторе зовемо и паралелним векторима.
Нека су нам дата два вектора услов колинеарности се математички представља

(3)

2.Дефиниција. За три вектора кажемо да су компланарна(линеарно зависна) ако леже у истој или паралелним равнима, у противном кажемо да су некомпланарни.
Предпоставимо да имамо три вектора који леже у једној равни, онда важи:.

(4)

Обрнуто ако важи (4) вектори су компланарни. Овај услов проистиче из просте чињенице да векторски производ два вектора је вектор који је управан на раван на којој леже ови вектори а како се и трећи вектор налази у равни ова два вектора то значи да скаларни производ овог вектора и управног вектора једнак нули.

У случају да је ова детерминанта различита од нуле :

(5)

Ово пак значи да вектори нележе у истој или паралелним равнима и имају облик базисних вектора тј вектора који су линеарно независни. Ова разматрања се готово идентично(паралелно) могу пренети на простор од n димензија стим што нисмо у могућности да дамо графичку интерпретацију вектора у простору од четри и више димензија. Због своје посебности(могућности графичке интерпретације) посматрајмо простор од три димензије, нека су овом простору дата три линеарно независна вектора при чему у општем случају нису јединични. Било који други вектор vможе се на јединствен начин представити као линеарна комбинација ова три поменута вектора. Да би смо ово показали поћићемо од геометриске интерпретације:

(6)

Са слике 5. је очигледно с обзиром на поменуту геометриску интерпретацију сабирања вектора као и особину како се вектор множи скаларом можемо написати да је

(7)

(8)

(9)

Пошто су вектори линеарно независни да би важила једначина (9) мора да важи чиме смо доказали јединственост разлагања.

На основу реченог можемо закључити да било која четри вектора у простору од три димензије су линеарно зависна. На исти начин ово разматрање смо могли применити и на простор од две димензије и закључили би да било која три вектора у равни су линеарно зависна. Aналогно овоме у простору од четри димензије било који пет вектора су линеарно зависни и могу се изразити преко базе простора од четри димензије. Поменута разматрање следи на основу дефиниције линеарне независности вектора. Наглашавамо да геометриска интерпретација није могућа у простору већим од три димензије.